С.В. Елизаров родился в Москве в 1983 году.
С 5 лет начал обучаться игре на скрипке. В 2001 году закончил МССМШ (колледж) им. Гнесиных у заслуженной артистки России, доцента МГК им. П.И. Чайковского Т.С. Беркуль. Во время обучения в школе наряду с сольной деятельностью начал играть в различных камерных ансамблях, а также выступать в составе оркестра «Гнесинские виртуозы» под управлением Заслуженного деятеля искусств России Михаила Хохлова.
В 2006 году С.В. Елизаров окончил Московскую консерваторию им. П.И. Чайковского (класс Народного артиста СССР Э.Д. Грача), в 2009 — аспирантуру. В этом же году С.В. Елизаров стал артистом одного из ведущих оркестров мира — Государственного академического симфонического оркестра России имени Е.Ф. Светланова под управлением Владимира Юровского.
С 2011 года Семен Витальевич преподает скрипку в МССМШ (колледже) им. Гнесиных, является секретарем заведующего Отделением скрипки и альта.
Большое количество своего свободного времени С.В. Елизаров уделяет Дубненскому симфоническому оркестру, где с 2000 г. выступает как солист и концертмейстер оркестра.